设函数\(f(x)\)在点\(x _0\)的某一去心邻域内有定义,如果存在常数\(a\),对于任意给定的正数\( \varepsilon \),都\( \exists \delta > 0 \),使不等式\( \vert f(x) - a \vert < \varepsilon \)在\( \vert x - x _0 \vert \in (0, \delta) \)时恒成立,那么常数\(a\)就叫做函数\(f(x)\)当\(x \rightarrow x _0\)时的极限,记作\( \lim _{x \rightarrow x _0} f(x) = a\)。

这是高等数学教科书中极限的定义,这个定义和一般概念的定义有所不同,既不符合“XX是……”的常见句式,还使用了“如果存在”、“任意给定”这种“不精确”的表述。

多年以来,我逐渐意识到,并不是这种定义方法太复杂,而是我们的课本太古板、太严肃了,总是要营造出一种假象:书上印出来的,都是亘古不变、颠扑不破、不容质疑的绝对真理。

所以,常见的定义都采用“XX是……”式的陈述,如“运动是指物体在空间中的相对位置随着时间而变化”,“原子指化学反应不可再分的基本微粒,原子在化学反应中不可分割”,“公有制经济是指生产资料归劳动者共同占有的经济形式”等,这些陈述在形式上严谨,便于出填空、选择题,但并不一定有实际意义。知识必须有血肉,干巴巴地放几个概念、定理,稍加阐释和证明,没有血肉饱满的实例,没有应用场景,这样的课本作为知识点的总结、作为工具书更合适,用来初次学习尤其是自学,就不够了。

科学中的概念、定理,本质上都是模型,其中总有假设的元素,甚至有些东西出于直觉,定义并不明确,比如极限,就是被数学家们糊里糊涂地用了几个世纪以后,才给出了本文开头的“严格”定义。科学“不容质疑”的严肃性并不能通过语言建立起来,而只能在不断被使用、被验证的过程中潜移默化、深入人心。

书上有一只狗的图片,可以上发条的玩具狗,上紧发条,狗就能运动。图的下面是一个问题:“什么使它运动?”……答案是“能量使它运动。”……能量是个很难捉摸的概念,想要正确理解,并用来解释一些东西,是很难的,超出了小学生的接受能力。……应该反过来,我们应该说“如果某个东西能运动,里面就有能量”,而不是“使它运动的是能量”。这里有微妙的差别。

要问一个孩子是什么使玩具狗运动时,你应该重新考虑一下答案,比如可以说:拧紧发条,发条要松下来,就会带动齿轮转动。这就是科学的启蒙啊!还可以把玩具拆开,一起看看它是怎么工作的,观察齿轮、棘轮,再讲讲这个玩具的制造方法、棘轮的巧妙设计等等相关的知识,这就够了。(“科学是什么”,《发现的乐趣》)

很多科学上的概念都是“非主流”的技术人员“玩”出来的,逐渐被“主流”学术人员包装得一本正经,越来越有“学究气”。

十七世纪初,航海家们为了确定自己的位置,需要进行复杂的乘除开方运算,有时候甚至耗时几个小时。为了快速得到乘除运算结果,一位业余的数学家花了20年想出了把乘除法转换为加减法的方法:把数字\(x\)、\(y\)通过固定变换为\(m\)和\(n\),计算\((m+n)\)后再变换回去得到\((xy)\)。他把\(x \rightarrow m\)、\(y \rightarrow n\)、\((xy) \rightarrow (m+n)\)这样“一对一对”的映射关系编制成表格,以便于快速查询,这个表格被称为“对数表”。“对数”就这样被发明出来了,对于当时的航海家和工程人员,这东西就是个加快运算的工具而已。后来,对数的概念越来越复杂,但是,搞明白它的来由和最初的用法,就不必死记硬背诸如\(\log (xy) = \log x + \log y\)这样的公式了。

我穿着睡衣在地板上工作,身边铺满了纸,上面是那些滑稽的一团团的斑点串成的图,还有一些线条伸出来。我自言自语:假如这些图真的有用,其他人开始使用它们,《物理评论》不得不印刷这些可笑的图片,这不很滑稽吗?(“世界上最聪明的人”,《发现的乐趣》)

如今,这些“滑稽”的费曼图不止印在了《物理评论》,而且已经成了理论物理学家的基本工具了。记得大学时候学《物理化学》,为了记住焓H、熵S、吉布斯自由能G、亥姆霍兹自由能A等热力学概念之间的计算关系以应付考试,我画了一个四面体帮着记忆,后来有一次课堂上,李教授竟然在黑板上画了类似的图形!我简直惊呆了:这种奇技淫巧怎么能登大雅之堂?!

有些工具难以理解,只有专业的人员才会去用,比如薛定谔方程、狄拉克符号;有些工具则几乎妇孺皆知,如\(\pi\)、\(e\)。“Man show”的科学家是很幽默的,比如粒子物理学中的很多概念,最初重子、轻子、介子还算中规中矩,后来的夸克竟然有了“味道”和“颜色”,到了“超弦”就有点魔幻了。

英文版《C程序设计语言》(The C Programming Language by K&R)索引里就有个幽默的彩蛋:recursion索引了索引页的recursion。中文版完全复制了英文版,给了一个错误的页码,译者显然没搞懂原作者的幽默。科学内在的趣味很容易被知识贩子们无意间弄丢掉。

一个东西的定义不是最重要的,重要的是它能做什么或我们能用它做什么,所以,不必一本正经、一字不差地死记硬背,也不要试图弄懂“费曼图究竟是什么”。费曼图只是一个工具,你不需要懂它,你只要会用它分析问题、解决问题就够了,如果能感受到它的妙处,那就更有意思了。


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